Часть 1
1 - 2 2 - 3 3 - 2 4 - – 1,6 5 - 3 6 - 4 7 - 4 8 - 0,012 9 - – 2,5 10 - А(2; 4) 11 - 4 12 - 3 13 - 2 14 - 243 15 - 3 16 - 800 тыс.
Часть 2
Задание 17
Постройте график функции Укажите наименьшее значение этой функции. Ответ: график изображен на рисунке; унаим. = –3. Решение. График — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины:
(В решении должны быть вычислены координаты еще нескольких точек, в том числе точки пересечения параболы с осью у.) Наименьшее значение функции равно –3.
Замечание. Учащийся может вычислить координаты вершины параболы и другим способом.
Комментарий. В случае отсутствия вычислений в чистовике при правильном построении параболы решение должно быть засчитано.
Задание 18
Выясните, имеет ли корни уравнение Ответ: не имеет. Решение. Представим уравнение в виде: Определим знак дискриминанта: Так как , то уравнение корней не имеет. Замечание. Уравнение может быть представлено в виде: ; учащийся может вычислить дискриминант D квадратного уравнения. Комментарий. Ошибки в составлении выражения D1 (или D), в применении формулы квадрата двучлена считаются существенными, и решение при их наличии не засчитывается.
Задание 19
Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 160, которые не делятся на 4. Ответ: 9600. Решение. Пусть S — искомая сумма; S = S1−S2, где S1 — сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 160, S2 – сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 160. Найдем S1: В последовательности (an) чисел, кратных 4 и не превосходящих 160, a1 = 4, an = 160. Найдем число членов этой последовательности. Так как она задается формулой an = 4n, то 4n = 160 , n = 40. Теперь найдем Получим: S = S1−S2= 161*80 − 82*40 = 40(322−82) = 9600.
Задание 20
Найдите наименьшее значение выражения (2x+y+3)2 + (3x−2y+8)2 и значения x и y , при которых оно достигается. Ответ: наименьшее значение выражения равно 0, оно достигается при x = −2, y =1. Решение. При любых значениях х и у (2x+y+3)2 + (3x−2y+8)2 > 0. Значение, равное 0, достигается только в том случае, когда 2x+ y +3 и 3x−2y+8 равны нулю одновременно. Составим систему уравнений Решив ее, получим: x = −2, y = 1. Таким образом, наименьшее значение выражения равно 0, оно достигается при x = −2, y = 1.
Задание 21
Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает в трех различных точках ломаную, заданную условиями: Ответ: 2/3 < k < 2. Другие возможные формы ответа: Решение. Построим ломаную, заданную условиями: Прямая y=kx пересекает в трех различных точках эту ломаную, если ее угловой коэффициент больше углового коэффициента прямой, проходящей через точку (−3;−2), и меньше углового коэффициента прямой, параллельной прямым y =2x−8 и y=2x+4. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точку (−3;−2): −2 = −3k , k = 2/3. Угловой коэффициент k прямой, параллельной прямой y=2x−8, равен 2. Прямая y=kx имеет с ломаной три общие точки при 2/3 < k < 2. Комментарий. Если график построен неправильно, или график построен правильно, но дальнейшие шаги отсутствуют, то решение не засчитывается.
|